درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی و آمار (1) کلاس دهم انسانی و معارف
درس 2: حل معادلۀ درجۀ 2 و کاربردها
برخلاف آنچه در «کار در کلاسهای درس اول» دیدیم، در حالت کلی ممکن است نتوانیم جوابهای معادله درجهٔ 2 را حدس بزنیم.
در این درس با سه روش برای حل معادله درجهٔ 2 آشنا میشویم.
روش اول: تجزیهٔ عبارتهای جبری
در سال قبل با مفهوم اتحاد و نیز با چند اتحاد جبری آشنا شدید و استفاده از این اتحادها را در تجزیه عبارتهای جبری آموختید. تعدادی از این اتحادها را برای حل معادلههای درجه دو بهکار خواهیم برد. برای یادآوری، این اتحادها را مرور میکنیم:
اتحاد مربع دوجملهای:
$\left\{ \begin{matrix} {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \\ {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \\ \end{matrix} \right.$
اتحاد مزدوج:
$\left( a-b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$
اتحاد جمله مشترک:
$\left( x+a \right)\left( x+b \right)={{x}^{2}}+\left( a+b \right)x+ab$
فعالیت (صفحهٔ 19 کتاب درسی)
طرف دوم تساویهای زیر را بهکمک اتحادهای خوانده شده کامل کنید:
الف) ${{\left( 2x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}=........+.........+\frac{1}{4}$
ب) ${{\left( 2+........ \right)}^{2}}=........+12xy+........$
پ) $\left( x-2y \right)\left( ........+........ \right)={{x}^{2}}-4{{y}^{2}}$
ت) ${{x}^{2}}-........12=\left( x-6 \right)\left( x-2 \right)$
ث) ${{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}=........+........+\frac{9}{4}$
فعالیت (صفحهٔ 20 کتاب درسی)
مطابق نمونه، اتحاد جبری پیشنهادی در ستون اول را که مناسب برای حل معادلهٔ درجه دوم در ستون بعدی است، با یک خط به یکدیگر وصل کنید. سپس معادلهٔ فوق را در ستون آخر حل کنید.
| ستون سوم | ستون دوم | ستون اول |
|
${{x}^{2}}+6x=0\Rightarrow x\left( x+6 \right)=0\Rightarrow x=0\,\,*\,\,x=-6$ پس معادله دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد. |
${{x}^{2}}+6x=0$ | اتحاد مربع تفاضل دو جمله |
| $\begin{align} & {{x}^{2}}+6x+9={{\left( x+3 \right)}^{2}}=0\Rightarrow \\ & \left( x+3 \right)\left( x+3 \right)=0\Rightarrow x=-3\,\,*\,\,x=-3 \\ \end{align}$ |
${{x}^{2}}+6x+9=0$ | عاملیابی (فاکتورگیری) |
|
روش 1: $\begin{align} روش 2: ${{x}^{2}}-16=0\Rightarrow {{x}^{2}}=16\Rightarrow ...$ |
${{x}^{2}}-16=0$ | اتحاد جمله مشترک |
| $\left( x+3 \right)\left( ........ \right)=0$ | ${{x}^{2}}+5x+6=0$ | اتحاد مربع مجموع دو جمله |
| ${{x}^{2}}-10x+25=0$ | اتحاد مزدوج و روش ریشهگیری |
1- با توجّه به معادلههای فوق در حالت کلی در معادلهٔ درجه دوم $:\,a{{x}^{2}}+bx+c=0$
الف) اگر $c=0$ از کدام روش بالا استفاده میکنید؟
ب) در چه صورتی از اتحاد مربع دو جملهای استفاده میکنید؟
پ) برای حل معادلهٔ درجهٔ دو به کمک اتحاد مزدوج یا ریشهگیری، b در چه شرطی صدق میکند؟
آیا علامتهای a و c مهم است؟
ت) در کدامیک از اتحادهای فوق جواب معادله، ریشهٔ مضاعف محسوب میشود؟
2- آیا میتوانید معادلهٔ درجه دومی بنویسید که جواب نداشته باشد؟ دو نمونهٔ آنرا مشخص کنید.
کار در کلاس (صفحهٔ 21 کتاب درسی)
با استفاده از اتحادهای بالا معادلههای زیر را حل کنید:
$1)\,{{x}^{2}}+3x-4=0$
از اتحاد یک جملهٔ مشترک، تساوی را تجزیه کنید:
$\begin{align} & \Rightarrow \left( x....... \right)\left( x....... \right)=0 \\ & \Rightarrow \left( x-....... \right)=0\,\,*\,\,\left( x....... \right)=0\Rightarrow x=.......\,\,*\,x=\,....... \\ \end{align}$
$2)\,4{{x}^{2}}-{{\left( 2-x \right)}^{2}}=0$
با استفاده از اتحاد ............ عبارت جبری سمت چپ تساوی را تجزیه میکنیم:
$\left( 2x-\left( 2-x \right) \right)\left( 2x+\left( 2-x \right) \right)=0\Rightarrow ........$
تمرین (صفحهٔ 21 تا 22 کتاب درسی)
1- معادلههای زیر را حل کنید.
الف) $2{{x}^{2}}-8=0$
ب) $\left( x+2 \right)\left( x-3 \right)=x-3$
پ) ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=0$
ت) ${{x}^{2}}=x-\frac{1}{4}$
ث) $2{{x}^{2}}-8x=0$
ج) ${{x}^{2}}-5x+6=0$
چ) $\frac{{{x}^{2}}}{3}=x$
ح) ${{x}^{2}}=5-{{x}^{2}}$
خ) ${{x}^{2}}+4x+4=0$
د) $9{{x}^{2}}+3x-2=0$
ذ) ${{\left( x-3 \right)}^{2}}=4$
2- از مربعی به ضلع $6cm$ سه شکل زیر بریده شده است. مساحت باقیماندهٔ $24c{{m}^{2}}$ است. طول ضلع کوچک بریده شده چقدر است؟
3- معادلهٔ درجه دومی بنویسید که $x=2$ و $x=-3$ جوابهای آن باشد.
4- معادلهٔ درجه دومی بنویسید که $x=1$ ریشهٔ مضاعف آن باشد.
5- در معادلهٔ $:\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}=K$
الف) جواب این معادله را در صورت وجود بهازای $K=2$، $K=4$، $K=0$ و $K=-9$ بهدست آورید.
ب) بهازای چه مقادیری از k معادله ریشهٔ مضاعف دارد؟
پ) بهازای چه مقادیری از k معادله دو ریشهٔ حقیقی دارد؟
ت) بهازای چه مقادیری از k معادله ریشهٔ حقیقی ندارد؟
6- برای ساخت تابلوی راهنمایی «یکطرفه» روی یک پل، مطابق شکل زیر از برچسبهای آبی و سفید استفاده میشود. هزینهٔ $1c{{m}^{2}}$ برچسب سفید 30 تومان و هزینهٔ $1c{{m}^{2}}$ برچسب آبی 10 تومان است. مجموع هزینهٔ برچسبهای سفید و آبی 27000 تومان شده است.
الف) اندازهٔ x چقدر است؟
ب) اگر در این تابلوی راهنمایی، مطابق شکل زیر علاوه بر چسب سفید و آبی از خطوط برچسب شبرنگ زرد استفاده کنیم که هزینهٔ $1cm$ آن 100 تومان است، هزینهٔ رنگآمیزی تابلو 34800 تومان میشود. در این حالت اندازهٔ x چقدر است؟
روش دوم: مربع کامل
${{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left( a\pm b \right)}^{2}}$
مثال:
معادلهٔ درجه دوم $2{{x}^{2}}+3x-5=0$ را حل کنید.
ابتدا قرینهٔ عدد ثابت معادله؛ یعنی 5 را به دو طرف معادله اضافه میکنیم:
$2{{x}^{2}}+3x=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
اگر ضریب ${{x}^{2}}$ مخالف 1 باشد، دو طرف معادله را به ضریب ${{x}^{2}}$ تقسیم میکنیم. بنابراین، در معادلهٔ بالا دو طرف تساوی را بر عدد …… تقسیم میکنیم:
${{x}^{2}}+\frac{3}{2}x=\,\frac{5}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
در عبارت $\frac{3}{2}x$ با در نظر گرفتن اتحاد مربع دوجملهای ${{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}$ برای ایجاد جملهٔ $2ab$، $\frac{3}{2}x$ را در عدد 2 ضرب و تقسیم میکنیم:
$\frac{3}{2}x=2\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{2}x=2\times \left( \frac{1}{2}\times \frac{3}{2}x \right)=2\times \frac{3}{4}x$
- سپس مربع عدد $\frac{3}{4}$ را به دو طرف تساوی (2) اضافه میکنیم:
${{x}^{2}}+\frac{3}{2}x+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}=\frac{5}{2}+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$
بهکمک اتحاد مربع دو جملهای سمت چپ تساوی (3) را به ${{\left( a+b \right)}^{2}}$ تبدیل میکنیم:
${{x}^{2}}+\frac{3}{2}x+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}={{\underset{\underset{{{a}^{2}}}{\mathop{\downarrow }}\,}{\mathop{x}}\,}^{2}}+2\times \underset{\underset{b\times a}{\mathop{\downarrow }}\,}{\mathop{\frac{3}{4}\underset{\downarrow }{\mathop{x}}\,}}\,+\underset{\underset{{{b}^{2}}}{\mathop{\downarrow }}\,}{\mathop{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}}}\,={{\left( x\underset{\underset{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{\mathop{\downarrow }}\,}{\mathop{+}}\,\frac{3}{4} \right)}^{2}}$
بنابراین:
${{\left( x+\frac{3}{4} \right)}^{2}}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}\to {{\left( x+\frac{3}{4} \right)}^{2}}=\frac{49}{16}\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$
با استفاده از ریشهگیری از 2 طرف تساوی، مقدار x بهدست میآید:
$x+\frac{3}{4}=\pm \frac{7}{4}\Rightarrow x=-\frac{3}{4}+\frac{7}{4}=\frac{4}{4}=1\,\,*\,\,x=-\frac{3}{4}-\frac{7}{4}=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}$
پس جوابهای معادلهٔ $2{{x}^{2}}+3x-5=0$ یا همان ریشههای معادله، دو عدد حقیقی $x=1$ و $x=-\frac{5}{2}$ هستند.
خواندنی
مراحل حل معادلهٔ ذکر شده را از پلهٔ دوم به بعد به کمک تعبیر هندسی زیر نیز میتوان بیان کرد:
- اگر ${{x}^{2}}$ را مساحت مربعی به ضلع x و $\frac{3}{2}x$ را مساحت مستطیلی به طول $\frac{3}{2}$ و عرض x در نظر بگیریم:
- با نصف کردن مستطیل به طول $\frac{3}{2}$ در تساوی (1) و تبدیل آن به دو مستطیل به طول ........... در تساوی (2):
و قرار دادن 2 مستطیل قبل در کنار مربع ${{x}^{2}}$ ، تساوی صفحه قبل بهصورت زیر در میآید:
- شکل سمت چپ برای آنکه به یک مربع کامل تبدیل شود نیاز به مربعی به ضلع .............. دارد.
با اضافه کردن آن به 2 طرف تساوی:
که مطابق روش حل بالا معادله دارای 2 جواب $x=1$ و $x=-\frac{5}{2}$ است. البته در روش هندسی فوق چون x طول ضلع است، جواب $x=-\frac{5}{2}$ معنی پیدا نمیکند.
شیوه حل معادلهٔ درجهٔ دو به روش هندسی ذکر شده اولین بار توسط ریاضیدان، منجم، مورخ و جغرافیدان ایرانی و مسلمان «ابوعبدالله محمدبن موسی خوارزمی» در کتاب جبر و مقابله در بخش اول کتاب در اواخر قرن دوم هجری مطرح شد. سؤال قبل که صورت کلی آن ${{x}^{2}}+px=q$ و با فرض $p,q\gt 0$ است، یکی از شش حالت خاصی است که خوارزمی برای حل معادلهٔ درجه دو در این کتاب مطرح و حل کرده است.
هرچند همهٔ معادلههای درجه دوم را نمیتوان با این شش روش حل کرد؛ اما بیان مسائل هندسی در قالب جملههای جبری در این کتاب بنای اصلی توسعهٔ نظریه جبری معادلهها است. کتاب جبر و مقابلهٔ خوارزمی قرنها مرجع و مأخذ اروپاییان و تا قرن شانزدهم میلادی مبنای مطالعات علمی آنان بوده است. این کتاب که به زبان عربی نوشته شده است، در قرن 12 میلادی دوباره توسط «جرارد کرمونی» و «رابرت چستری» به زبان لاتین ترجمه شده است. این ترجمهها را میتوان آغاز علم جبر در اروپا دانست. همچنین در سال 1831 میلادی نیز «فردریک رزن» این کتاب را بار دیگر از زبان عربی به زبان انگلیسی ترجمه کرده است. گفتنی است که یک نسخهٔ خطی این کتاب در دانشگاه آکسفورد و نسخهٔ خطی دیگر آن در قاهره موجود است.
کار در کلاس (صفحهٔ 26 کتاب درسی)
با محاسبهٔ مجموع زمان طی کردن پلههای زیر برای مراحل حل معادلهٔ درجهٔ دو، در چند ثانیه میتوانید به بالای پله برسید؟ بهترین نتیجهٔ بهدست آمده در کلاس چند ثانیه با عملکرد شما اختلاف دارد؟
تمرین قبل از مسابقه
$1)\,2{{x}^{2}}-6x-1$
مسابقه
$2)\,3{{x}^{2}}-2=6x$
تمرین (صفحهٔ 27 کتاب درسی)
معادلههای درجهٔ دوم زیر را به روش تشکیل مربع کامل حل کنید.
الف) ${{x}^{2}}-5x+6=0$
ب) $9{{x}^{2}}+3x-2=0$
پ) ${{x}^{2}}+\frac{1}{4}=-x$
ت) ${{x}^{2}}+6x+9=0$
روش سوم: روش کلی حل معادلهٔ درجهٔ دوم
با استفاده از روش مربع کامل برای حل معادلهٔ درجه دوم $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ روش کلی برای حل معادله بهدست میآید. با مرور پلههای گفته شده در بخش قبل:
قرینهٔ عدد ثابت معادله را به دو طرف معادله اضافه میکنیم:
$a{{x}^{2}}+bx=-c\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
دو طرف معادله را به ضریب ${{x}^{2}}$ یعنی a تقسیم میکنیم:
${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
ضریب $\frac{b}{a}$ را در عدد 2 ضرب و تقسیم میکنیم و مربع عدد بهدست آمده؛ یعنی $\frac{b}{2a}$ را به دو طرف تساوی (2) اضافه میکنیم:
${{x}^{2}}+2\left( \frac{b}{2a} \right)x+2{{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}={{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\frac{c}{a}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$
عبارت سمت چپ تساوی (3) را به مربع کامل تبدیل میکنیم:
$\Rightarrow {{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}-\frac{c}{a}\Rightarrow {{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}$
با شرط ${{b}^{2}}-4ac\gt 0$ و با استفاده از ریشهگیری از دو طرف تساوی:
$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$
عبارت ${{b}^{2}}-4ac$ را مبین معادلهٔ درجه دوم مینامند و آنرا با $\Delta $ نشان میدهند.
بر اساس علامت $\Delta $ میتوان در وجود و تعداد ریشههای معادلهٔ درجه دوم اظهار نظر کرد:
الف) اگر $\Delta \gt 0$ باشد، معادله دارای دو جواب است که عبارتاند از:
$x=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ و $x=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
ب) اگر $\Delta =0$ باشد، معادله دارای یک جواب است. (در این حالت این ریشه را ریشهٔ مضاعف مینامند.)
$x=-\frac{b}{2a}$
پ) اگر $\Delta \lt 0$ باشد معادله جواب ندارد. (چرا؟)
فعالیت (صفحهٔ 28 تا 29 کتاب درسی)
1- جوابهای معادلهٔ ${{x}^{2}}-3x+2=0$ را در صورت وجود بهدست آورید.
حل: با توجه به ضرایب معادله، بهترتیب: $c=2$ و $b=-3$ و $a=1$ است.
بنابراین:
$\Delta ={{b}^{2}}-...\Rightarrow \Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}-4\times 1\times 2=9-8=1$
$\Delta \gt 0$ پس معادله دارای دو جواب است:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{1}}{2}\Rightarrow x=2\,\,\,*\,\,x=1$
2- جوابهای معادلهٔ $4{{x}^{2}}+7x-2=0$ را در صورت وجود بهدست آورید.
حل: با در نظر گرفتن $:\,a=....\,\,\,\,\,\,\,\,\,b=....\,\,\,\,\,\,\,\,\,c=....$
$\Delta =........\Rightarrow \Delta =49-4\times 4\times \left( -2 \right)=81$
$\Delta \gt 0$ و معادله دارای دو جواب است:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow x=\frac{-7\pm \sqrt{81}}{2\times 4}=\frac{.......}{8}\Rightarrow $
3- جواب های معادلهٔ $3{{x}^{2}}+x+7=0$ را در صورت وجود بهدست آورید.
حل: با در نظر گرفتن $:\,a=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,b=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,c=7$
$\Delta ={{b}^{2}}-4ac\Rightarrow \Delta =.......$
$\Delta \lt 0$ بنابراین معادله ریشهٔ حقیقی ندارد.
کار در کلاس (صفحهٔ 29 کتاب درسی)
معادلههای زیر را حل کنید و با بهدست آوردن ریشههای معادلهٔ، ${{x}_{1}}$ و ${{x}_{2}}$ حاصل ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ را بهدست آورید.
آیا ارتباطی میان مجموع ریشهها و ضرایب a,b و c در معادلهٔ درجه دو گفته شده وجود دارد؟
الف) $3{{x}^{2}}+5x-2=0$
ب) $4{{x}^{2}}+3x-7=0$
طرح و حل دو مسئله کاربردی از معادلهٔ درجه دوم
مسئلهٔ اول:
مقدمه: در هر مسئلهٔ اقتصادی اگر x مقدار یا تعداد محصول باشد، سه رابطه مهم زیر تعریف میشوند:
رابطه هزینه (cost) یا $C(x)$: هزینه تولید $x$ واحد کالا
رابطه سود (profit) یا $P(x)$: سود حاصل از فروش $x$ واحد کالا
رابطه درآمد (Revenue) یا $R(x)$: درآمد حاصل از فروش $x$ واحد کالا
ارتباط میان 3 رابطه فوق بهصورت زیر است:
هزینه - درآمد (فروش) = سود $\Rightarrow P(x)=R(x)-C(x)$
فرض کنید یک دوچرخه جدید ورزشی طراحی کردهاید که میخواهید آنرا به تولید انبوه برسانید. هزینههای شما شامل دو بخش است:
الف) 700000 (واحد) برای راهاندازی کارگاه و خرید تجهیزات و تبلیغات و … (هزینه اولیه)
ب) 110 (واحد) برای ساخت هر دوچرخه (هزینه تولید)
با توجه به اطلاعات آماری تولید دوچرخههای مشابه در بازار، انتظار شما از تعداد فروش این دوچرخه با توجه به قیمت فروش آن از نمودار زیر پیروی میکند:
اگر N تعداد فروش دوچرخه و P قیمت هر دوچرخه تعیین شده باشد با توجه به نمودار فوق، رابطه زیر میان N و P برقرار است:
$N=70000-200P$
این تساوی به این معنی است که اگر:
- قیمت دوچرخه صفر واحد تعیین شود، تعداد فروش دوچرخه برابر 70000 دوچرخه است.
- قیمت دوچرخه 350 واحد تعیین شود، تعداد فروش دوچرخه صفر عدد است.
- اگر قیمت دوچرخه 300 واحد تعیین شود، تعداد فروش دوچرخه برابر است با
$N=70000-200P=70000-200\times 300=10000$ دوچرخه
با توجه به اطلاعات فوق، الف) رابطه سود این کارخانه برحسب قیمت تعیینشده یک دوچرخه را مشخص کنید.
حل:
قیمت هر دوچرخه $\times $ تعداد فروش دوچرخه = درآمد کارخانه
$=(70000-200P)P=70000P-200{{P}^{2}}$
هزینه تولید + هزینه اولیه = هزینه کارخانه
$\begin{align} & =700000+110(70000-200P)=700000+7700000-22000P \\ & =8400000-22000P \\ \end{align}$
هزینه کارخانه - درآمد کارخانه = سود کارخانه
$\begin{align} & =70000P-200{{P}^{2}}-(8400000-22000P) \\ & \Rightarrow -200({{P}^{2}}-460P+42000) \\ \end{align}$
مسئلهٔ دوم:
در یک کارگاه تولید چتر، سود حاصل از فروش x چتر بهطور تقریبی از رابطهٔ $p(x)=-{{x}^{2}}+2000x-24000$ بهدست میآید.
الف) اگر این کارگاه چتری نفروشد، چقدر از دست میدهد؟
ب) نقطهٔ سر به سر (break-even) میزانی از تولید یک بنگاه اقتصادی را نشان میدهد که در آن میزان هزینهها با میزان درآمدها برابر میشود و بنگاه در این سطح از تولید نه سود میکند و نه ضرر.
در مثال بالا بهازای چه تعداد فروش چتر، کارگاه به نقطهٔ سر به سر خود میرسد؟
تمرین (صفحهٔ 31 تا 32 کتاب درسی)
1- معادلههای درجهٔ دوم زیر را حل کنید.
$1)\,{{x}^{2}}-x=0$
$2)\,2{{x}^{2}}+x-1=0$
$3)\,4{{x}^{2}}-4x+1=0$
$4)\,{{x}^{2}}+17x-18=0$
$5)\,3{{x}^{2}}-x+4=0$
$6)\,{{x}^{2}}+\sqrt{3}x-1=0$
2- معادلهٔ $2{{x}^{2}}-3x-5=0$ را به روش $\Delta $ حل کنید. با محاسبهٔ ریشههای ${{x}_{1}}$ و ${{x}_{2}}$ حاصلضرب آنها را بهدست آورید.
3- اگر یکی از جوابهای معادلهٔ $2{{x}^{2}}-ax+28=0$ برابر 4- باشد، جواب دیگر این معادله چیست؟
4- مساحت مثلث و مستطیل در شکل زیر مساویاند، طول و عرض این مستطیل چقدر است؟
5- کدامیک از معادلههای زیر بهازای هر مقدار a همواره دارای جوابهای حقیقی است؟
الف) ${{x}^{2}}+ax-1=0$
ب) ${{x}^{2}}-x+a=0$
6- نشان دهید در معادلهٔ درجه دوم $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ اگر $a+c=b$ باشد. یکی از ریشههای معادله برابر $x=-1$ و دیگری $x=-\frac{c}{a}$ است.
7- با تعیین ریشههای معادله نشان دهید حاصلضرب ریشههای معادلهٔ درجه دوم $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ درجه دوم برابر $\frac{c}{a}$ است.
8- نشان دهید در هر معادلهٔ درجه دوم $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ اگر مجموع ضرایب معادله برابر صفر باشد $\left( a+b+c=0 \right)$ یکی از ریشههای معادلهٔ $x=1$ و دیگری $x=\frac{c}{a}$ است.